Question

7．棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在線段BD上運動．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BB₁P；
（Ⅱ）若BP=1，設(shè)異面直線B₁P與AC₁所成的角為θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （I）利用正方體與正方形的性質(zhì)可得：BB₁⊥AC，BP⊥AC，再利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論．
（Ⅱ）以A為原點，分別以AB，AD，AA₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量夾角公式即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則BB₁⊥AC，…（2分）
正方形ABCD中，BD⊥AC，又P∈BD，則BP⊥AC，…（4分）
且BP∩BB₁=B，∴AC⊥平面BB₁P．…（5分）
（Ⅱ）以A為原點，分別以AB，AD，AA₁所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），C₁（1，1，1），B₁（1，0，1）．  …（6分）
若BP=1，所以$P（{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0}）$，…（7分）
所以 $\overrightarrow{{B_1}P}=（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-1}）$，$\overrightarrow{A{C_1}}=（{1，1，1}）$．
則$cosα=|{cos＜\overrightarrow{{B_1}P}，\overrightarrow{AC}＞}|=|{\frac{{\overrightarrow{{B_1}P}•\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{{B_1}P}}|•|{\overrightarrow{AC}}|}}}|=|{\frac{-1}{{\sqrt{2}•\sqrt{3}}}}|=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
即cosθ的值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（12分）

點評 本題考查了正方體與正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．