Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（sin（x-

π

6

），sinx），函數(shù)f（x）=2

a

•

b

，g（x）=f（

πx

4

）．
（1）求f（x）在[

π

2

，π]上的最值，并求出相應(yīng)的x的值；
（2）計(jì)算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；
（3）已知t∈R，討論g（x）在[t，t+2]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合,分類(lèi)討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，再利用三角函數(shù)公式化f（x）為含一個(gè)角的一種三角函數(shù)形式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值
（2）由（1）得，g（x）=f（

πx

4

）=sin（

π

2

x-

π

3

）+

3

2

．注意到T=4，利用分組方法求和．
（3）g（x）在[t，t+2]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于y=sin（

π

2

x-

π

3

）與y=-

3

2

兩圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行討論．

解答： 解：（1）f（x）=2

a

•

b

=2sinxsin（x-

π

6

）+2sinxcosx=

3

sin²x+

1

2

sin2x
=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，
∵x∈[

π

2

，π]，∴

2π

3

≤2x-

π

3

≤

5π

3

，
∴-1≤sin（2x-

π

3

）≤

3

2

，f（x）最小值為  

3

2

-1，f（x）最大值為 

3

．
（2）由（1）得，f（x）=sin（2x-

π

3

）+

3

2

．∴g（x）=f（

πx

4

）=sin（

π

2

x-

π

3

）+

3

2

．T=4，
∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=…=g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．
g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=2

3

，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=503×2

3

+g（1）+g（2）
=1006

3

+

3 3

2

+

1

2

=

2015 3 +1

2

．
（3）g（x）在[t，t+2]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于y=sin（

π

2

x-

π

3

）與y=-

3

2

兩圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)數(shù)的圖象．

當(dāng)4k＜t＜

4

3

+4k，k∈Z時(shí)，由圖象可知，y=sin（

π

2

x-

π

3

）與y=-

3

2

兩圖象無(wú)交點(diǎn)，g（x）無(wú)零點(diǎn)
當(dāng)

4

3

+4k≤t＜2+4k或

10

3

+4k＜t≤4+4k時(shí)，y=sin（

π

2

x-

π

3

）與y=-

3

2

兩圖象1個(gè)交點(diǎn)，g（x）1個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)2+4k≤t≤

10

3

+4k時(shí)，y=sin（

π

2

x-

π

3

）與y=-

3

2

兩圖象2個(gè)交點(diǎn)，g（x）2個(gè)零點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量與三角，函數(shù)與方程的結(jié)合，融合了重要的知識(shí)點(diǎn)，公式和思想方法，難度不大．