Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log₂（ax²-2x+2）定義域?yàn)锳．
（Ⅰ）若A=R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最大值為2？若存在求出a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=log₂（ax²-2x+2）定義域?yàn)镽則，ax²-2x+2＞0在x∈R上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)性值判斷條件．
（2）存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最大值為2，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，可判斷即a＜0，g（x）_max=g（

1

a

）=4，即

1

a

-

2

a

+2=4，即可求出a的值．

解答： 解：（1）因?yàn)锳=R所以ax²-2x+2＞0在x∈R上恒成立．
①當(dāng)a=0時(shí)，由-2x+2＞0，得x＜1，不成了，舍去．
②當(dāng)a≠0時(shí)，由

a＞0 △x=4-8a＜0

，a＞

1

2

，
為綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍：（

1

2

，+∞）
（2）令g（x）=ax²-2x+2，有題意知，要使f（x）取最大值為2，則函數(shù)g（x）需取得最大值4，
拋物線開口向下，即a＜0，
g（x）_max=g（

1

a

）=4，
即

1

a

-

2

a

+2=4，
∴a=-

1

2

滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，特別是單調(diào)性，最值問題，綜合考察要求對(duì)函數(shù)理解很深刻，應(yīng)用靈活．