Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+2x-a（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上存在點(diǎn)（x₀，y₀），使得f（f（y₀））=y₀，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1+e^-1，e+1]．

Answer 1

分析 由橢圓的性質(zhì)可知y₀∈[-1，1]．函數(shù)f（x）=e^x+2x-a在[-1，1]上單調(diào)遞增．利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性可以證明f（y₀）=y₀．令函數(shù)f（x）=e^x+2x-a=x，化為a=e^x+x．令g（x）=e^x+x （x∈[-1，1]）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上存在點(diǎn)（x₀，y₀），由橢圓的性質(zhì)可知：y₀∈[-1，1]．
由f（x）=e^x+2x-a，x∈[-1，1]，求導(dǎo)f′（x）=e^x+2x，
當(dāng)x∈[-1，1]，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）=e^x+2x-a在[-1，1]上單調(diào)遞增．
下面證明f（y₀）=y₀．
假設(shè)f（y₀）=c＞y₀，則f（f（y₀））=f（c）＞f（y₀）=c＞y₀，不滿足f（f（y₀））=y₀．
同理假設(shè)f（y₀）=c＜y₀，則不滿足f（f（y₀））=y₀．
綜上可得：f（y₀）=y₀．
令函數(shù)f（x）=e^x+2x-a=x，化為a=e^x+x．
令g（x）=e^x+x（x∈[-1，1]）．
g′（x）=e^x+1＞0，
∴函數(shù)g（x）在x∈[-1，1]單調(diào)遞增．
∴e^-1-1≤g（x）≤e+1．
∴a的取值范圍是[-1+e^-1，e+1]，
故答案為：[-1+e^-1，e+1]．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的性質(zhì)，考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．