Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是正方形A₁B₁C₁D₁、ADD₁A₁的中心，求證：平面DEF∥平面AB₁C．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：以D為原點，分別以DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，將D，E，F(xiàn)，A，B₁，C得坐標(biāo)寫出，利用向量得坐標(biāo)關(guān)系判斷EF∥AB₁，DF∥CB₁，利用面面平行得判定定理可得．

解答： 解：以D為原點，分別以DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則D（0，0，0），E（1，1，2），F(xiàn)（1，0，1），A（2，0，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2），
所以

EF

=（0，-1，-1），

DF

=（1，0，1），

AB1

=（0，2，2），

CB1

=（2，0，2），
所以

EF

∥

AB1

，

DF

∥

CB1

，并且EF∩DF=F，AB₁∩CB₁=B₁，
所以平面DEF∥平面AB₁C．

點評：本題借助于空間向量解決了平面平行得判斷，關(guān)鍵是正確建立空間直角坐標(biāo)系，得到向量平行與平面內(nèi)的直線平行，從而判斷面面平行．