Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，

m

=（cosA，cosC），

n

=（

3

c-2b，

3

a），且

m

⊥

n

．
（1）求角A的大��；
（2）若a=b，且BC邊上的中線AM的長為

7

，求邊a的值．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：解三角形

分析：（1）通過向量的數(shù)量積以及正弦定理兩角和與差的三角函數(shù)，求出A的余弦函數(shù)值，即可求角A的大小；
（2）通過a=b，利用余弦定理，結(jié)合BC邊上的中線AM的長為

7

，即可求出邊a的值

解答： （本題12分）
解：（1）由

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=0
（2b-

3

c）cosA=

3

acosC   …（2分）
所以（2sinB-

3

sinC）cosA=

3

sinAcosC     …（4分）
∴2sinBcosA=

3

sin(A+C)，
則2sinBcosA=

3

sinB       …（6分）
所以cosA=

3

2

，于是A=

π

6

       …（8分）
（2）由（1）知A=

π

6

，又a=b，所以C=

2π

3

      （9分）
設(shè)AC=x，則MC=

1

2

x，AM=

7

，在△AMC中，由余弦定理得
 AC²+MC²-2AC•MCcosC=AM²        …（11分）
即x²+（

x

2

）²-2x•

x

2

cos

2π

3

=(

7

)2，
解得x=2，即a=2…（12分）

點評：本題考查余弦定理的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角形的解法，考查計算能力．