Question

已知過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，斜率為的直線交拋物線于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，且|AB|=9，
（1）求該拋物線的方程；
（2）O為坐標原點，C為拋物線上一點，若，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線AB的方程與y²=2px聯(lián)立，有4x²-5px+p²=0，從而x₁+x₂=，再由拋物線定義得：|AB|=x₁+x₂+p=9，求得p，則拋物線方程可得．
（2）由p=4，4x²-5px+p²=0求得A（1，-2），B（4，4）．再求得設(shè)的坐標，最后代入拋物線方程即可解得λ．
解答：解：（1）直線AB的方程是y=2（x-），與y²=2px聯(lián)立，有4x²-5px+p²=0，
∴x₁+x₂=
由拋物線定義得：|AB|=x₁+x₂+p=9
∴p=4，∴拋物線方程是y²=8x．
（2）由p=4，4x²-5px+p²=0得：x²-5x+4=0，
∴x₁=1，x₂=4，
y₁=-2，y₂=4，從而A（1，-2），B（4，4）．
設(shè)=（x₃，y₃）=（1，-2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ-2）
又[2（2λ-1）]²=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．
點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了基本的分析問題的能力和基礎(chǔ)的運算能力．