Question

已知函數f（x）（x∈R）滿足下列條件：對任意的實數x₁，x₂都有λ（x₁-x₂）²≤（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]和|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，其中λ是大于0的常數，設實數a，a，b滿足f（a）=0和b=a-λf（a）
（Ⅰ）證明λ≤1，并且不存在b≠a，使得f（b）=0；
（Ⅱ）證明（b-a）²≤（1-λ²）（a-a）²；

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證明λ≤1，并且不存在b≠a，使得f（b）=0，由已知條件λ（x₁-x₂）²≤（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]和|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|合并，可以直接得出λ≤1，再假設有b≠a，使得f（b）=0，根據已知判斷出矛盾即得到不存在b≠a，使得f（b）=0．
（Ⅱ）要證明（b-a）²≤（1-λ²）（a-a）²；把不等式兩邊（b-a）²和（1-λ²）（a-a）²分別用題中的已知等式化為同一的函數值得形式，再證明不等式成立即可．
解答：證明：（I）任取x₁，x₂?R，x₁≠x₂，則由λ（x₁-x₂）²≤（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]①
和|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|②
可知λ（x₁-x₂）²≤（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]≤|x₁-x₂|•|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|²，
從而λ≤1．
假設有b≠a，使得f（b）=0，則由①式知0＜λ（a-b）²≤（a-b）[f（a）-f（b）]=0矛盾．
∴不存在b≠a，使得f（b）=0．
（II）由b=a-λf（a）③
可知（b-a）²=[a-a-λf（a）]²=（a-a）²-2λ（a-a）f（a）+λ²[f（a）]²④
由f（a）=0和①式，得（a-a）f（a）=（a-a）[f（a）-f（a）]≥λ（a-a）²⑤
由和②式知，[f（a）]²=[f（a）-f（a）]²≤（a-a）²⑥
由⑤、⑥代入④式，得（b-a）²≤（a-a）²-2λ²（a-a）²+λ²（a-a）²=（1-λ²）（a-a）²
即不等式（b-a）²≤（1-λ²）（a-a）²得證．
點評：題目中涉及了八個不同的字母參數a，b，a，b，x，x₁，x₂，λ以及它們的抽象函數值f（x）．參數量太多，讓考生們在短時間內難以理清頭緒．因而解決問題的關鍵就在于“消元”--把題設條件及欲證關系中的多個參數量轉化為某幾個特定變量來表示，有一定的計算量需要同學們注意．