Question

14．已知函數(shù)f（x）=x^m-$\frac{2}{x}$且f（4）=$\frac{7}{2}$，
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明．
（3）求f（x）在[2，5]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$f（4）=\frac{7}{2}$，帶入計(jì)算可得m的值．
（2）求解f（x）的解析式，利用定義域證明即可．
（3）利用單調(diào)性求解f（x）在[2，5]上的值域即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x^m-$\frac{2}{x}$，
由f（4）=$\frac{7}{2}$，
可得：${4}^{m}-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$，
解得：m=1．
∴m的值為1．
（2）由（1）可得f（x）=x-$\frac{2}{x}$，
設(shè)0＜x₁＜x₂，則$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}-{x}_{2}-\frac{2}{{x}_{1}}+\frac{2}{{x}_{2}}$=${（x}_{1}-{x}_{2}）-\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（3）由2可知f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，即在[2，5]上的也是增函數(shù)．
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得最小值為1，
當(dāng)x=5時(shí)，f（x）取得最大值為$\frac{23}{5}$，
故得f（x）在[2，5]上的值域?yàn)閇1，$\frac{23}{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考擦了函數(shù)解析式的求法，單調(diào)性的定義證明以及利用單調(diào)性求解值域問題．屬于基礎(chǔ)題