Question

19．若a＞0，b＞0，a+2b=ab，則3a+b的最小值為7+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 變形已知式子可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=1，整體代入可得3a+b=（3a+b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）=7+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞0，b＞0，a+2b=ab，
∴$\frac{a+2b}{ab}$=1，即$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=1，
∴3a+b=（3a+b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）
=7+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}$≥7+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{3a}}$=7+2$\sqrt{6}$
當且僅當$\frac{2b}{a}$=$\frac{3a}$時取等號，
結合$\frac{2}{a}+\frac{1}$=1可解得a=$\frac{6+\sqrt{6}}{3}$且b=$\sqrt{6}$+1，
故答案為：7+2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查基本不等式求最值，得出$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=1并整體代入是解決問題的關鍵，屬基礎題．