Question

對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），可以證明點(diǎn)A（m，n）是f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的充要條件是f（m-x）+f（m+x）=2n，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）=x³+3x²圖象的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)；
（2）函數(shù)f（x）=ax³+（b-2）x²（a，b∈R）在R上是奇函數(shù)，求a，b滿足的條件；并討論在區(qū)間[-1，1]上是否存在常數(shù)a，使得f（x）≥-x²+4x-2恒成立？
（3）試寫出函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線X=M對(duì)稱的充要條件（不用證明）；利用所學(xué)知識(shí)，研究函數(shù)f（x）=ax³+bx²（a，b∈R）圖象的對(duì)稱性．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（m，n）是f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的充要條件是f（m-x）+f（m+x）=2n，x∈R．可設(shè)A（m，n）為f（x）的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)則得到f（m-x）+f（m+x）=2n成立即可解出m和n；
（2）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)可知f（-x）+f（x）=0得a、b的值；把a(bǔ)b代入的f（x）的解析式讓f（x）≥-x²+4x-2推出矛盾即可說明不存在；
（3）函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線X=M對(duì)稱的充要條件是f（m+x）=f（m-x）；分析函數(shù)f（x）=ax³+bx²（a，b∈R）圖象的對(duì)稱性．f（m+x）+f（m-x）=2m可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解：設(shè)A（m，n）為函數(shù)f（x）=x³+3x²圖象的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，則f（m-x）+f（m+x）=2n，對(duì)于x∈R恒成立．即（m-x）³+3（m-x）²+（m+x）³+3（m+x）²=2n對(duì)于x∈R恒成立，
∴（6m+6）x²+（2m³+6m²-2n）=0由

6m+6=0 2m3+6m2-2n=0

解得：

m=-1 n=2

故函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)為（-1，2）．
（2）①因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，則由f（-x）=-f（x）得：-ax³+（b-2）x²=-ax³-（b-2）x²，
解得a∈R，b=2；
②當(dāng)a∈R，b=2時(shí)f（x）是奇函數(shù)．不存在常數(shù)a使f（x）≥-x²+4x-2x∈[-1，1]時(shí)恒成立．
依題，此時(shí)f（x）=ax³，
令g（x）=-x²+4x-2，x∈[-1，1]，
∴g（x）∈[-7，1]，
若a=0，f（x）=0，不合題；
若a＞0，f（x）=ax³此時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，f（x）_min=-a．
若存在a合題，則-a≥1，與a＞0矛盾．
若a＜0，f（x）=ax³此時(shí)為單調(diào)減函數(shù)，
f（x）_min=a若存在a合題，則a≥1，與a＜0矛盾．
綜上可知，符合條件的a不存在．
（3）函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=m對(duì)稱的充要條件是f（m+x）=f（m-x）
①a=b=0時(shí)，f（x）=0（x∈R），其圖象關(guān)于x軸上任意一點(diǎn)成中心對(duì)稱；關(guān)于平行于y軸的任意一條直線成軸對(duì)稱圖形；
②a=0，b≠0時(shí)，f（x）=bx²（x∈R），其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱圖形；
③a≠0，b=0時(shí)，f（x）=ax³，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；
④a≠0，b≠0時(shí)，f（x）=ax³+bx²的圖象不可能是軸對(duì)稱圖形．
設(shè)A（m，n）為函數(shù)f（x）=ax³+bx²圖象的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，則f（m-x）+f（m+x）=2n對(duì)于x∈R恒成立．即a（m-x）³+b（m-x）²+a（m+x）³+b（m+x）²=2n對(duì)于x∈R恒成立，（3am+b）x²+（am³+bm²-n）=0
由，由

3am+b=0 am3+bm2-n=0

解得

m=- b 3a n= 2b3 27a2

故函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)為（-

b

3a

，

2b3

27a2

）．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生應(yīng)用函數(shù)奇偶性的能力，奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性研究能力，理解函數(shù)恒成立問題的能力．