Question

9．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點A在雙曲線C上的一點，若|AF₁|=2|AF₂|，則cos∠F₁AF₂=（　�。�

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵|AF₁|=2|AF₂|，
∴點A在雙曲線的右支上，
∵|AF₁|-|AF₂|=2|AF₂|-|AF₂|=|AF₂|=2a，
∴|AF₁|=4a，
∵雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$，
∴e=$\sqrt{3}$，
則cos∠F₁AF₂=$\frac{A{{F}_{1}}^{2}+A{{F}_{2}}^{2}-{F}_{1}{F}_{2}}{2A{F}_{1}A{F}_{2}}$=$\frac{16{a}^{2}+4{a}^{2}-4{c}^{2}}{2×2a•4a}$=$\frac{20{a}^{2}-4{c}^{2}}{16{a}^{2}}$=$\frac{20}{16}$-$\frac{1}{4}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{4}$•e²=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{4}$×3=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
故選：D

點評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用，根據(jù)條件結(jié)合雙曲線的定義建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．