Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx（cosx+sinx）（x∈R）
（1）求f（

5π

6

）的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值及相應的x值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）函數(shù)解析式去括號后，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，代入求出f（

5π

6

）；
（2）由x的范圍求出2x-

π

4

的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的最值求出原函數(shù)得最大值及x的值．

解答： 解：（1）f（x）=2sinx（cosx+sinx）
=2sinxcosx+2sin²x
=sin2x+1-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)+1 
∴f（

5π

6

）=

2

sin(2×

5π

6

-

π

4

)+1=-

2

sin(

2π

3

-

π

4

)+1
=-

2

[

3

2

×

2

2

-(-

1

2

)×

2

2

]+1
=

1- 3

2

（2）由x∈[0，π]得，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

] 
∴當2x-

π

4

=

π

2

時，即x=

3π

8

時，
函數(shù)f（x）取最大值，且f(x)max=

2

+1

點評：本題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的最值，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．