Question

已知拋物線(xiàn)y²=4x上兩定點(diǎn)A、B分別在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且|AF|=2，|BF|=5，在拋物線(xiàn)的AOB一段上求一點(diǎn)P，使S_△ABP最大，并求面積最大值．

Answer 1

【答案】分析：先由題設(shè)條件知，|FA|=2，|FB|=5，可根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；再由兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，故由兩點(diǎn)間距離公式求出兩點(diǎn)的距離，由直線(xiàn)方程的兩點(diǎn)式求出直線(xiàn)AB的方程；欲求△PAB的面積最大值可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離的最大值，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式建立起點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的知識(shí)求出最值即可．
解答：解：不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，B點(diǎn)在第四象限．如圖．
拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)A在第一象限，設(shè)A（x₁，y₁），y₁＞0，
由|FA|=2得x₁+1=2，x₁=1，代入y²=4x中得y₁=2，所以A（1，2），…（2分）；
同理B（4，-4），…（4分）
由A（1，2），B（4，-4）得 …（6分）
直線(xiàn)AB的方程為 ，化簡(jiǎn)得2x+y-4=0．…（8分）
再設(shè)在拋物線(xiàn)AOB這段曲線(xiàn)上任一點(diǎn)P（x，y），且0≤x≤4，-4≤y≤2．
則點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離d=== …（9分）
所以當(dāng)y=-1時(shí)，d取最大值 ，…（10分）
所以△PAB的面積最大值為S=×3 ×= …（11分）
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，-1）．…（12分）．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查拋物線(xiàn)的應(yīng)用、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、直線(xiàn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．