Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－e2x.

(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線平行于x軸，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若x>0時(shí)，總有f(x)>－e2x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞減；f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增；(2)

【解析】試題分析：

(1)由導(dǎo)函數(shù)與斜率的關(guān)系可得,則函數(shù)f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞減；f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增；

(2)分離系數(shù)后構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合新函數(shù)的特征可得 實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

試題解析：

(1)由f′(x)＝ex＋2ax－e2，得

y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線斜率k＝4a＝0，則a＝0.

此時(shí)f(x)＝ex－e2x，f′(x)＝ex－e2.

由f′(x)＝0，得x＝2.

當(dāng)x∈(－∞，2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)， f′(x)>0，f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．

(2)由f(x)>－e2x，得a>－.設(shè)g(x)＝－，x>0，則g′(x)＝.

∴當(dāng)0<x<2時(shí)，g′(x)>0，g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x>2時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減．

∴g(x)≤g(2)＝－.因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為.