Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，， .
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； 
（Ⅱ）當(dāng)取何值時(shí)，取最大值，并求出最大值；
（Ⅲ）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（I）見解析
（II）當(dāng)n=7或n=8時(shí)，取最大值，最大值為．
（III）實(shí)數(shù)的取值范圍是

（I）∵，，，
∴． 即．
又，所以．
∵，
∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．
（II）由（I）可知 （）．
∴．
．
當(dāng)n=7時(shí)，，；
當(dāng)n<7時(shí)，，；
當(dāng)n>7時(shí)，，．
∴
當(dāng)n=7或n=8時(shí)，取最大值，最大值為．
（III）由，得      （*）
依題意（*）式對(duì)任意恒成立，
當(dāng)t=0時(shí)，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．
②當(dāng)t<0時(shí)，由，可知（）．
而當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，因此t<0不合題意．
③當(dāng)t>0時(shí)，由（）,
∴   ∴． （）
設(shè)    （）
∵ =,
∴．∴的最大值為．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．