Question

（本題滿分12分)若函數(shù)對任意的，恒有.當時，恒有.

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（3）若，解不等式.

 

Answer 1

（1）為奇函數(shù)，證明詳見解析；（2）為上的減函數(shù)，證明詳見解析；（3）解集為：.

【解析】

試題分析：（1）抽象函數(shù)奇偶性的判斷更要緊扣定義，用好所取的特殊值，及它們之間的特殊關(guān)系，如取一些特殊值，，等，問題往往就有所突破；（2）抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷也要緊扣定義，用好已知條件中的不等關(guān)系；（3）解抽象不等式主要是運用抽象函數(shù)本身的單調(diào)性，這里是運用（2）得出的結(jié)論來解題.

試題解析：（1）令，可知，解得

又，移項，，所以為奇函數(shù)；

（2）設(shè)，且，則，由已知條件知，從而，即，對照定義知：為上的減函數(shù)；

（3）由已知條件知，又，所以原不等式可化為，又因為為上的減函數(shù)，所以，解得，即原不等式的解集為：.

考點：抽象函數(shù)性質(zhì)的研究及運用.