Question

對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y滿足：f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時(shí)，f（x）＞0，證明：f（x）是R上的增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，作差，利用所給恒等式進(jìn)行變形，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，進(jìn)而證明出f（x）的單調(diào)性；

解答： 證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0時(shí)，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)表達(dá)式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義及其證明，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法