Question

18．已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，a_n=$\frac{1}{n}$+（1-$\frac{1}{n}$）a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{na_n}是等差數(shù)列；
（2）記b_n=$\frac{1}{{n}^{2}{a}_{n}}$，{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，求證S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式和等差數(shù)列的定義即可證明，
（2）先求出b_n，再裂項(xiàng)求和和放縮即可證明．

解答 證明：（1）∵a_n=$\frac{1}{n}$+（1-$\frac{1}{n}$）a_n-1，
∴na_n=（n-1）a_n-1+1，
∴na_n-（n-1）a_n-1=1，
∵a₁=2，
∴1×a₁=2，
∴數(shù)列{na_n}是等差數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可得na_n=n+1，
∴a_n=$\frac{n+1}{n}$，
∴b_n=$\frac{1}{{n}^{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
那么S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)求和，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題