Question

13．已知直線x=$\frac{2}$與橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）交于A、B兩點，若橢圓C的兩個焦點與A、B兩點可以構成一個矩形，則橢圓C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{4}$

Answer 1

分析 由題意求得A點坐標，將A代入直線方程，利用橢圓的性質，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：∵橢圓C的兩個焦點與A、B兩點可以構成一個矩形，∴AB=2c，即A（$\frac{2}$，c），
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{2}）^{2}}{^{2}}=1$⇒3a²⁼4c²，⇒e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：C

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查橢圓離心率的求法，考查計算能力，屬于中檔題