Question

如圖，過(guò)點(diǎn)D（-2，0）作圓O：x²+y²=r²（0＜r＜

3

）的切線交橢圓C：

x2

6

+

y2

3

=1于A，點(diǎn)A與E（-3，0）的連線段EA與橢圓C相交于另一點(diǎn)B．
（Ⅰ）若△OAD的面積為1，求r的值；
（Ⅱ）求證：直線BD與圓O相切．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合

專題：計(jì)算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由△OAD的面積為1，運(yùn)用面積公式，得到y(tǒng)_A=1，求得A的坐標(biāo)，得到AD的方程，由直線和圓相切的條件，即可得到半徑r；
（Ⅱ）設(shè)直線AE：y=k（x+3），聯(lián)立橢圓方程C：

x2

6

+

y2

3

=1，消去y，得到關(guān)于x的二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3），運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'（x₁，-y₁），由斜率公式，求出直線BD，A'D的斜率，作差注意化簡(jiǎn)變形，證明它們相等即可．

解答： （Ⅰ）解：∵△OAD的面積為1，設(shè)y_A＞0，
∴

1

2

×2•y_A=1，即y_A=1，A（2，1），
∴直線AD：y=

1

4

（x+2），
∴由直線AD與圓相切，得到
d=r=

|2|

17

=

2 17

17

．
（Ⅱ）證明：設(shè)直線AE：y=k（x+3），聯(lián)立橢圓方程C：

x2

6

+

y2

3

=1，消去y，
得（1+2k²）x²+12k²x+（18k²-6）=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3），
則x₁+x₂=-

12k2

1+2k2

，x₁x₂=

18k2-6

1+2k2

，
設(shè)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'（x₁，-y₁），
則k_BD=

y2

x2+2

，k_A'D=

-y1

x1+2

，
則k_BD-k_A'D=

y2

x2+2

-

-y1

x1+2

=

k(x2+3)

x2+1

+

k(x1+3)

x1+2

=k（2+

1

x1+2

+

1

x2+2

）
=k（2+

x1+x2+4

x1x2+4+2x1+2x2

）=k（2+

-12k2+4+8k2

4+8k2+18k2-6-24k2

）=k（2-2）=0．
∴k_BD=k_A'D，即B，D，A'共線，
故由AD和圓相切，得直線BD和圓也相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系：相切，以及直線的斜率和方程有關(guān)知識(shí)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．