Question

17．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，若${S_1}=2{，_{\;}}3{S_n}^2-2{a_{n+1}}{S_n}=a_{n+1}^2$，則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式變形，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$（n≥2），即數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．

解答 解：由S₁=2，得a₁=S₁=2，
由$3{{S}_{n}}^{2}-2{a}_{n+1}{S}_{n}={{a}_{n+1}}^{2}$，
得$4{{S}_{n}}^{2}=（{S}_{n}+{a}_{n+1}）^{2}$，
又a_n＞0，
∴2S_n=S_n+a_n+1，即S_n=a_n+1，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=a_n，
兩式作差得：a_n=a_n+1-a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$，
又由${S_1}=2{，_{\;}}3{S_n}^2-2{a_{n+1}}{S_n}=a_{n+1}^2$，求得a₂=2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={2}^{n-1}$．
驗(yàn)證n=1時(shí)不成立，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2{，_{\;}}_{\;}n=1\\{2^{n-1}}，n≥2\end{array}\right.$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．