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欲測河的寬度,在一岸邊選定A、B兩點,望對岸的標記物C,測得∠CAB=45°,∠CBA=75°,AB=120m,求河寬.欲測河的寬度,在一岸邊選定A、B兩點,望對岸的標記物C,測得∠CAB=45°,∠CBA=75°,AB=120m,求河寬.
分析:由三角形內角和定理算出C=180°-A-B=60°,在△ABC中由正弦定理
AB
sinC
=
BC
sinA
的式子解出BC=40
6
,最后利用三角形面積公式進行等積變換,即可算出題中所求的河寬為(60+20
3
)m.
解答:解:由題意,可得
C=180°-A-B=180°-45°-75°=60°
∵在△ABC中,由正弦定理得
AB
sinC
=
BC
sinA

∴BC=
ABsinA
sinC
=
120×sin45°
sin60°
=40
6

又∵△ABC的面積滿足S△ABC=
1
2
AB•BCsinB=
1
2
AB•h
∴AB邊的高h滿足:h=BCsinB=40
6
×
6
+
2
4
=(60+20
3
)m
即題中所求的河寬為(60+20
3
)m.
點評:本題給出實際應用問題,求河的寬度.著重考查了三角形內角和定理、正弦定理解三角形和三角形的面積公式等知識,屬于中檔題.
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