Question

6．已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)x=1處的切線與直線x+2y-1=0垂直．
（1）求a的值和f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：e^x＞f′（x）．

Answer 1

分析 （1）由f′（1）=1+a=2，解得：a=1，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間．
（2）要證e^x＞f′（x），即證e^x＞lnx+2，x＞0時(shí)，易得e^x＞x+1，即只需證明x＞lnx+1即可

解答 解：（1）f′（x）=lnx+1+a，
f′（1）=1+a=2，解得：a=1，
故f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，
令f′（x）＞0，解得：x＞e^-2，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e^-2，
故f（x）在（0，e^-2）遞減，在（e^-2，+∞）遞增；
（2）要證e^x＞f′（x），即證e^x-lnx-2＞0，即證e^x＞lnx+2，
x＞0時(shí)，易得e^x＞x+1，即只需證明x+1≥lnx+2即可，
即只需證明x＞lnx+1即可
令h（x）=x-lnx+1，則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
令h′（x）=0，得x=1
h（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故h（x）≥h（1）=0．
即x+1≥lnx+2成立，即e^x＞lnx+2，
∴e^x＞f′（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，構(gòu)造合適的新函數(shù)，放縮法證明函數(shù)不等式，屬于難題．