Question

8．若函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+6，x≤2}\\{3+lo{g}_{a}x，x＞2}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． [$\frac{1}{2}$，1）
• C． （1，2）
• D． （1，2]

Answer 1

分析 先求出當x≤2時，f（x）≥4，則根據條件得到當x＞2時，f（x）=3+log_ax≥4恒成立，利用對數函數的單調性進行求解即可．

解答 解：當x≤2時，f（x）=-x+6≥4，
要使f（x）的值域是[4，+∞），
則當x＞2時，f（x）=3+log_ax≥4恒成立，
即log_ax≥1，
若0＜a＜1，則不等式log_ax≥1不成立，
當a＞1時，則由log_ax≥1=log_aa，
則a≤x，
∵x＞2，∴a≤2，
即1＜a≤2，
故選：D．

點評 本題主要考查函數值域的應用，利用分段函數的表達式先求出當x≤2時的函數的值域是解決本題的關鍵．