Question

8．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+6，x≤2}\\{3+lo{g}_{a}x，x＞2}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． [$\frac{1}{2}$，1）
• C． （1，2）
• D． （1，2]

Answer 1

分析 先求出當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）≥4，則根據(jù)條件得到當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=3+log_ax≥4恒成立，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=-x+6≥4，
要使f（x）的值域是[4，+∞），
則當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=3+log_ax≥4恒成立，
即log_ax≥1，
若0＜a＜1，則不等式log_ax≥1不成立，
當(dāng)a＞1時(shí)，則由log_ax≥1=log_aa，
則a≤x，
∵x＞2，∴a≤2，
即1＜a≤2，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的應(yīng)用，利用分段函數(shù)的表達(dá)式先求出當(dāng)x≤2時(shí)的函數(shù)的值域是解決本題的關(guān)鍵．