Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

lg|x-2|，x≠2 1，x=2

，若關(guān)于x的方程[f（x）]²+bf（x）+c=0恰有3個不同的實數(shù)解x₁，x₂，x₃，則f（x₁+x₂+x₃）=

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題研究由根的個數(shù)及函數(shù)f（x）=

lg|x-2|，x≠2 1，x=2

的圖象特征研究關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3個不同的實數(shù)解x₁，x₂，x₃之間的關(guān)系，由三根之間的關(guān)系確定它們和的值，從而求出f（x₁+x₂+x₃）的值．

解答： 解：由題意f（x）=

lg|x-2|，x≠2 1，x=2

的圖象如下，
由圖知y=1與函數(shù)f（x）=

lg|x-2|，x≠2 1，x=2

有三個交點，
∵關(guān)于x的方程f²（x）+b f（x）+c=0恰有3個不同的實數(shù)解x₁，x₂，x₃，
∴①若關(guān)于f（x）的一元二次方程僅有一個根為f（x）=1，
由圖象知，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3個不同的實數(shù)解，
由于函數(shù)的圖象關(guān)于x=2對稱，故此時有f（x₁+x₂+x₃）=f（6）=lg4=2lg2；
②若關(guān)于f（x）的一元二次方程僅有一個根不為f（x）=1，
由圖象知，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有2個不同的實數(shù)解，不滿足題意；
③若關(guān)于f（x）的一元二次方程有二個不同的根，
由圖象知，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有四個不同的實數(shù)解或五個不同的實數(shù)解，不滿足題意．
由上討論知，f（x₁+x₂+x₃）=2lg2．
故答案為：2lg2．

點評：本題考查根的存在性與根的個數(shù)判斷，解題的關(guān)鍵是作出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合一元二次方程根的情況判斷出三個根的關(guān)系，本題作出函數(shù)的圖象，考查了以形助數(shù)的思想，以圖象作輔助判斷的手段是函數(shù)中研究問題時常采用的策略，要善于利用作圖工具作出標準的圖象．