已知拋物線的焦點(diǎn)F以及橢圓（）的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓O：上。

（1）求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩不同點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N，已知，則是否為定值？若是，求出其值；若不是，說(shuō)明理由。

解析：（1）；（2）－1

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程確定等量關(guān)系，求解拋物線方程；根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)和右定點(diǎn)也在圓上，確定橢圓方程；（2）利用已知的向量關(guān)系式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化求出，然后通過(guò)直線與拋物線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn)并求值。

試題解析：（1）由拋物線的焦點(diǎn)在圓O：上得：拋物線    

同理由橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓O：上可解得：。

得橢圓。                     

（2）是定值，且定值為－1。

設(shè)直線AB的方程為，則。

聯(lián)立方程組，消去y得：，

，且，          

由得：，

整理得：，

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（05年上海卷）（16分）

已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4、且位于軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5.過(guò)A作AB垂直于軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.

（1）求拋物線方程；

（2）過(guò)M作，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)是軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線的焦點(diǎn)為F，以點(diǎn)A（，0）為圓心，為半徑的圓在x軸的上方與拋物線交于M、N兩點(diǎn)。

    （1）求證：點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)，且過(guò)F的橢圓上。

    （2）設(shè)點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，是否存在這樣的a，使得的等差中項(xiàng)？如果存在，求a的值；如果不存在，說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆四川省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)于于為弦AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切；    ②； 

③；     ④；    ⑤.

其中一定正確的有                (寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)).

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆浙江省高二第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為P，AB的垂直平分線與  x軸交于點(diǎn)E（0）。

（1）求k的取值范圍；

（2）求證：；

（3）△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形？若能，求出k的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年山東省萊蕪市高三上學(xué)期期末檢測(cè)理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

 

（本小題滿分14分）

  已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交y軸正半軸于點(diǎn)，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，其中A在第二象限。

 （1）求證：以線段FA為直徑為圓與Y軸相切；

（2）若，求的值.

 

 

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