Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D．
（Ⅰ）求證：AC平分∠DAB；
（Ⅱ）若AB=9，AC=6，求CD．

Answer 1

分析 （1）連接BC，利用弦切角定理得出△ADC∽△ACB，故而∠BAC=∠DAC；
（2）根據(jù)相似三角形列出比例式計(jì)算AD，從而得出CD．

解答 證明：（Ⅰ）連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，則∠ACB=∠ADC=90°，
∵CD是⊙O的切線，∴∠DCA=∠CBA．
∴△ADC∽△ACB，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAB．
（Ⅱ）∵△ADC∽△ACB，∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{9}{6}=\frac{6}{AD}$，解得AD=4，∴$CD=\sqrt{A{C^2}-A{D^2}}=2\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．