Question

設(shè)f（x）=x³-mx²-2x+5
（1）當(dāng)m=

1

2

時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若m=

1

2

且0≤x≤2時(shí)，f（x）＜k總成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若f（x）在[0，1]上有極值點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)m=

1

2

時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求解求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若m=

1

2

，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，判斷零點(diǎn)是否在0≤x≤2內(nèi)，求出函數(shù)f（x）的最大值，即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若f（x）在[0，1]上有極值點(diǎn)，說(shuō)明導(dǎo)數(shù)的區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，列出不等式組即可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5，
∴f′（x）=3x²-x-2，由 f′（x）＞0 得 x＜-

2

3

或 x＞1，
∴增區(qū)間為（-∞，-

2

3

），（1，+∞），減區(qū)間為（-

2

3

，1）． …（4分）
（2）f′（x）=3x²-2x-2=0，得x=-

2

3

（舍去），x=1．
又 f （0）=5，f （1）=

7

2

，f （2）=7，所以 f （x）|_max=7，得 k＞7．…（8分）
（3）f′（x）=3x²-2mx-2，其圖象恒過(guò)定點(diǎn)（0，-2），
由此可知，3x²-2mx-2=0必有一正根和一負(fù)根，
只需要求正根在（0，1）上，
∴f′（0）•f′（1）＜0，∴m＜

1

2

． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，閉區(qū)間上的最值的求法，函數(shù)的極值以及單調(diào)區(qū)間的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．