Question

10．已知圓C：x²+y²=4，直線l：y=x，則圓C上任取一點A到直線l的距離小于1的概率為（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)和直線l平行的直線的方程為x-y+c=0根據(jù)點到直線的距離公式和解三角形的有關(guān)知識可得符合條件的圓心角的度數(shù)為4×30°=120°，根據(jù)概率公式計算即可

解答 解：設(shè)和直線l平行的直線的方程為x-y+c=0，
∵圓C上任取一點A到直線l的距離小于1，
∴圓心到直線x-y+c=0的距離小于1，
∴$\frac{|c|}{\sqrt{2}}$≤1，
解得|c|≤$\sqrt{2}$，
分別做直線y=x+$\sqrt{2}$和y=x-$\sqrt{2}$，如圖所示，
∵OC=1，OB=2，
∴∠CBO=30°，
∴∠AOB=30°，
∴符合條件的圓心角的度數(shù)為4×30°=120°，
根據(jù)幾何概型的概率公式得到P=$\frac{120}{360}$=$\frac{1}{3}$，
故選：D

點評 本題考查概率的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)及點到直線的距離公式的合理運用．