Question

已知公比不為1的等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，且a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差數(shù)列．
（1）求等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）對n∈N₊，在a_n和a_n+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)成等差數(shù)列，記插入的這n個數(shù)的和為b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題（1）可以用首項(xiàng)和公比表示a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆，利用成等差條件，得到相應(yīng)的方程，解方程得到本題結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論，研究得到a_n和a_n+1之間的n個數(shù)，利用等差數(shù)列求和公式求和，得到b_n，再求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差數(shù)列，
∴a₅+S₅-（a₄+S₄）=a₆+S₆-（a₅+S₅），
∴2a₅-a₄=2a₆-a₅，
∴2a₆-3a₅+a₄=0．
∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∴a₅=a₄q，a₆=2a₄q²，
∴2q²-3q+1=0，
∴（2q-1）（q-1）=0．
∵數(shù)列{a_n}公比不為1，
∴q=

1

2

．
∴a_n=2×(

1

2

)n-1，
∴a_n=（

1

2

）^n-2．
∴等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：a_n=（

1

2

）^n-2．
（2）由（1）知：an+1=(

1

2

)n-1．
對n∈N₊，在a_n和a_n+1之間插入n個數(shù)，分別記為：c₁，c₂，c₃，…c_n，
使得：a_n，c₁，c₂，c₃，…c_n，a_n+1成等差數(shù)列，
則b_n=

(c1+cn)n

2

=

(an+an+1)n

2

=

3n

2n

．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
∴T_n=3×（

1

2

）+6×（

1

2

）²+9×（

1

2

）³+…+

3n

2n

．…①

1

2

T_n=3×（

1

2

）²+6×（

1

2

）³+9×(

1

2

)4…+

3n

2n+1

．…②
由①-②得：

1

2

T_n=3×（

1

2

）+[3×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+3×(

1

2

)4…+

3

2n

]-

3n

2n+1

．…②
=

3 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

3n

2n+1

．
∴T_n=6-

3n+6

2n

，n∈N^*．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為：T_n=6-

3n+6

2n

，n∈N^*．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列、以及數(shù)列的錯位相減法求和，本題難度較大，計算量適中，屬于中檔題．