Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+3x+1
（1）設(shè)a=2，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）的定義域是R，f′（x）=3x²-6ax+3，
當(dāng)a=2時，f′（x）=3x²-12x+3=3（x²-4x+1），令f′（x）＞0，可得x²-4x+1＞0
解得：或
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是；
（2）∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個極值點，等價于方程3x²-6ax+3=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區(qū)間（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=，
令g（x）=，求導(dǎo)函數(shù)可得g′（x）=
∴g（x）在（2，3）上單調(diào)遞增，
∴＜＜，
∴＜a＜，此時滿足△＞0，
故a的取值范圍是＜a＜．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個極值點，等價于方程f′（x）=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區(qū)間（2，3）有解．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個極值點轉(zhuǎn)化為方程f′（x）=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區(qū)間（2，3）有解．