解:(Ⅰ)對于函數(shù)
,有
,
解可得x<-5或x>5.
所以f(x)的定義域為(-∞,-5)∪(5,+∞);
(Ⅱ)f(a)=log
2=4,
即
=16,
解可得,a=-
;
(Ⅲ)f(x)在(5,+∞)和(-∞,-5)上是單調(diào)遞增的.
證明:由(Ⅰ)可得,函數(shù)的定義域為(-∞,-5)∪(5,+∞),關(guān)于原點對稱;
又有
則f(x)為奇函數(shù),
任取x
1,x
2∈(5,+∞),且x
1<x
2,則△x=x
2-x
1>0,
f(x
2)-f(x
1)=log
2-log
2=log
2(
÷
)=log
2;
∵△x=x
2-x
1>0,∴x
1x
2-25+5△x>x
1x
2-25-5△x
∴
,
∴
,
即f(x
2)-f(x
1)>0
由此證得f(x)在(5,+∞)上是單調(diào)遞增的,
又∵f(x)是奇函數(shù),
∴f(x)在(-∞,-5)上也是單調(diào)遞增的.
∴f(x)在(5,+∞)和(-∞,-5)上是單調(diào)遞增的.
分析:(Ⅰ)對于函數(shù)
,有
,解可得答案;
(Ⅱ)根據(jù)題意,有f(a)=log
2=4,變形可得
=16,解可得答案;
(Ⅲ)首先分析函數(shù)的奇偶性,可得f(x)為奇函數(shù),任取x
1,x
2∈(5,+∞),且x
1<x
2,則△x=x
2-x
1>0,用作差法證明可得f(x)在(5,+∞)上是單調(diào)遞增的,結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得f(x)在(-∞,-5)上也是單調(diào)遞增的,綜合可得答案.
點評:本題考查綜合考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,解(Ⅲ)時,由于所求函數(shù)的定義域不連續(xù),要先分析證明一半定義域中的單調(diào)性,再利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì),分析剩余區(qū)間的單調(diào)性,進(jìn)而綜合考慮可得整體的單調(diào)性.