Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若f（a）=4，求a的值；
（Ⅲ）判斷并證明該函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

解：（Ⅰ）對于函數(shù)，有，
解可得x＜-5或x＞5．
所以f（x）的定義域為（-∞，-5）∪（5，+∞）；
（Ⅱ）f（a）=log₂=4，
即=16，
解可得，a=-；
（Ⅲ）f（x）在（5，+∞）和（-∞，-5）上是單調(diào)遞增的．
證明：由（Ⅰ）可得，函數(shù)的定義域為（-∞，-5）∪（5，+∞），關(guān)于原點對稱；
又有
則f（x）為奇函數(shù)，
任取x₁，x₂∈（5，+∞），且x₁＜x₂，則△x=x₂-x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=log₂-log₂=log₂（÷）=log₂；
∵△x=x₂-x₁＞0，∴x₁x₂-25+5△x＞x₁x₂-25-5△x
∴，
∴，
即f（x₂）-f（x₁）＞0
由此證得f（x）在（5，+∞）上是單調(diào)遞增的，
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，-5）上也是單調(diào)遞增的．
∴f（x）在（5，+∞）和（-∞，-5）上是單調(diào)遞增的．
分析：（Ⅰ）對于函數(shù)，有，解可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，有f（a）=log₂=4，變形可得=16，解可得答案；
（Ⅲ）首先分析函數(shù)的奇偶性，可得f（x）為奇函數(shù)，任取x₁，x₂∈（5，+∞），且x₁＜x₂，則△x=x₂-x₁＞0，用作差法證明可得f（x）在（5，+∞）上是單調(diào)遞增的，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得f（x）在（-∞，-5）上也是單調(diào)遞增的，綜合可得答案．
點評：本題考查綜合考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，解（Ⅲ）時，由于所求函數(shù)的定義域不連續(xù)，要先分析證明一半定義域中的單調(diào)性，再利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，分析剩余區(qū)間的單調(diào)性，進(jìn)而綜合考慮可得整體的單調(diào)性．