Question

5．某單位共有10名員工，他們某年的收入如表：

員工編號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
年薪（萬元）	3	3.5	4	5	5.5	6.5	7	7.5	8	50

（1）求該單位員工當(dāng)年年薪的平均值和中位數(shù)；
（2）從該單位中任取2人，此2人中年薪收入高于5萬的人數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和期望；
（3）已知員工年薪收入與工作年限成正線性相關(guān)關(guān)系，若某員工工作第一年至第四年的年薪分別為3萬元、4.2萬元、5.6萬元、7.2萬元，預(yù)測該員工第五年的年薪為多少？
附：線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中系數(shù)計(jì)算公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（\;{x_i}-\overline x\;）（\;{y_i}-\overline y\;）}}}{{{{（\;{x_i}-\overline x\;）}^2}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\;\overline x$，其中$\overline x$、$\overline y$表示樣本均值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算；
（2）適用組合數(shù)公式計(jì)算P（ξ）；
（3）求出線性回歸方程，根據(jù)回歸方程預(yù)測．

解答 解：（1）平均值為10萬元，中位數(shù)為6萬元．
（2）年薪高于5萬的有6人，低于或等于5萬的有4人；ξ的取值為0，1，2．P（ξ=0）$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，$P（ξ=1）=\frac{C_4^1C_6^1}{{C_{10}^2}}=\frac{8}{15}$，$P（ξ=2）=\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}=\frac{1}{3}$，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{3}$

數(shù)學(xué)期望為$Eξ=0×\frac{2}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{3}=\frac{6}{5}$．
（3）設(shè)x_i，y_i（i=1，2，3，4）分別表示工作年限及相應(yīng)年薪，則$\overline{x}=2.5，\overline{y}=5$，
$\sum_{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=2.25+0.25+0.25+2.25=5，$\sum_{i=1}^4{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\bar y）}=-1.5×（-2）+（-0.5）×（-0.8）+0.5×0.6+1.5×2.2=7$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（\;{x_i}-\overline x\;）（\;{y_i}-\overline y\;）}}}{{{{（\;{x_i}-\overline x\;）}^2}}}$=1.4，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=5-1.4×2.5=1.5．
∴員工年薪與工作年限的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=1.4x+1.5．
當(dāng)x=5時，$\stackrel{∧}{y}$=1.4×5+1.5=8.5．
該員工第5年的年薪收入約為8.5萬元．

點(diǎn)評 本題考查了古典概型的概率計(jì)算，線性回歸方程的解法及應(yīng)用，屬于中檔題．