【題目】已知橢圓C的焦距為2,左右焦點分別為,以原點O為圓心,以橢圓C的半短軸長為半徑的圓與直線相切.

求橢圓C的方程;

設(shè)不過原點的直線l與橢圓C交于AB兩點.

若直線的斜率分別為,,且,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標(biāo);

若直線l的斜率是直線OAOB斜率的等比中項,求面積的取值范圍.

【答案】1;(2)(i)直線過定點,該定點的坐標(biāo)為;(ii面積的取值范圍為

【解析】

試題(1)先根據(jù)拋物線的焦點,再結(jié)合橢圓幾何條件得當(dāng)點為橢圓的短軸端點時,面積最大,此時,所以.(2)(i)證明直線過定點問題,一般方法以算代證,即求出直線方程,根據(jù)方程特征確定其過定點,本題關(guān)鍵求出之間關(guān)系即可得出直線過定點.由,即,因此聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達定理可得;(ii)先分析條件:直線的斜率時直線,斜率的等比中項,即,,化簡得,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達定理可得,這樣三角形面積可用m表示,其中高利用點到直線距離得到,底邊邊長利用弦長公式得到:,最后根據(jù)基本不等式求最值

試題解析:(1)由拋物線的方程得其焦點為,所以橢圓中

當(dāng)點為橢圓的短軸端點時,面積最大,此時,所以

,為橢圓的左、右焦點,為橢圓上任意一點,面積的最大值為1

所以橢圓的方程為

2)聯(lián)立,

,得*

設(shè),,則,,

i,,由,得,

所以,即,

所以直線的方程為,因此直線恒過定點,該定點坐標(biāo)為

ii)因為直線的斜率是直線,斜率的等比中項,所以,即

,得,所以,又,所以,

代入(*),得

設(shè)點到直線的距離為,則

所以 ,

當(dāng)且僅當(dāng),即時,面積取最大值

面積的取值范圍為

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C:(y-2)2-x2=1交于A、B兩點.

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(2)在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點P的極坐標(biāo)為,求點P到線段AB中點M的距離.

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(1)試解釋的實際意義,并建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式

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(2)設(shè)函數(shù)G(x)=f(x)-g(x)-1

①若函數(shù)G(x)有兩相異零點且上是減函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍。

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(1)在下面的坐標(biāo)系中,描出散點圖,并判斷變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);

(2)若用解析式作為蔬菜農(nóng)藥殘量與用水量的回歸方程,令,計算平均值,完成以下表格(填在答題卡中),求出的回歸方程.(保留兩位有效數(shù)字);

(3)對于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥,當(dāng)它的殘留量低于微克時對人體無害,為了放心食用該蔬菜,請評估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜?(精確到,參考數(shù)據(jù))(附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為:

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