【題目】(本小題共14分)如圖,在三棱錐中, 底面
,點(diǎn), 分別在棱上,且(Ⅰ)求證: 平面;(Ⅱ)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),求與平面所成的角的大;(Ⅲ)是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角?并說(shuō)明理由.
【答案】(Ⅱ).
【解析】【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.
(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D為PB的中點(diǎn),DE//BC,
∴,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足為點(diǎn)E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AB,又PA=AB,∴△ABP為等腰直角三角形,
∴,∴在Rt△ABC中, ,∴.∴在Rt△ADE中, ,∴與平面所成的角的大小.
(Ⅲ)∵DE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,∴∠AEP為二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一點(diǎn)E,使得AE⊥PC,這時(shí),故存在點(diǎn)E使得二面角是直二面角.
【解法2】如圖,以A為原煤點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由已知可得
.
(Ⅰ)∵,∴,∴BC⊥AP.
又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D為PB的中點(diǎn),DE//BC,∴E為PC的中點(diǎn),
∴,∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足為點(diǎn)E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,∵,
∴.∴與平面所成的角的大小.
(Ⅲ)同解法1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)證明:當(dāng)時(shí), ;
(2)若當(dāng)時(shí), ,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同直線的極坐標(biāo)方程為,曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù),設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn).
寫(xiě)出直線的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
已知點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)P到直線距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是2017年第一季度中國(guó)某五省情況圖,則下列陳述正確的是( )
①2017年第一季度 總量高于4000億元的省份共有3個(gè);
②與去年同期相比,2017年第一季度五個(gè)省的總量均實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng);
③去年同期的總量前三位依次是省、省、;
④2016年同期省的總量居于第四位.
A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為梯形,,,,.
(1)當(dāng)時(shí),試在棱上確定一個(gè)點(diǎn),使得平面,并求出此時(shí)的值;
(2)當(dāng)時(shí),若平面平面,求此時(shí)棱的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高中生調(diào)查了當(dāng)?shù)啬承^(qū)的50戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成三組,并作出如下頻率分布直方圖:
(1)在直方圖的經(jīng)濟(jì)損失分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值,并以經(jīng)濟(jì)損失落入該區(qū)間的頻率作為經(jīng)濟(jì)損失取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如:經(jīng)濟(jì)損失則取,且的概率等于經(jīng)濟(jì)損失落入的頻率)。現(xiàn)從當(dāng)?shù)氐木用裰须S機(jī)抽出2戶進(jìn)行捐款援助,設(shè)抽出的2戶的經(jīng)濟(jì)損失的和為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(2)臺(tái)風(fēng)后居委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,此高中生調(diào)查的50戶居民捐款情況如下表,在表格空白處填寫(xiě)正確數(shù)字,并說(shuō)明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)?
經(jīng)濟(jì)損失不超過(guò)4000元 | 經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)4000元 | 合計(jì) | |
捐款超過(guò)500元 | 30 | ||
捐款不超過(guò)500元 | 6 | ||
合計(jì) |
附:臨界值表參考公式: .
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的焦距為2,左右焦點(diǎn)分別為,,以原點(diǎn)O為圓心,以橢圓C的半短軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
Ⅰ求橢圓C的方程;
Ⅱ設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線l:與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).
若直線與的斜率分別為,,且,求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);
若直線l的斜率是直線OA,OB斜率的等比中項(xiàng),求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為的、,離心率為;過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn),當(dāng)時(shí), 點(diǎn)在軸上的射影為。連結(jié)并延長(zhǎng)分別交于、兩點(diǎn),連接; 與的面積分別記為, ,設(shè).
(Ⅰ)求橢圓和拋物線的方程;
(Ⅱ)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生對(duì)正在進(jìn)行的一項(xiàng)教學(xué)改革的態(tài)度,從500名高一學(xué)生和400名高二學(xué)生中按分層抽樣的方式抽取了45名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,結(jié)果可以分成以下三類:支持、反對(duì)、無(wú)所謂,調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
(1)(i)求出表中的的值;
(ii)從反對(duì)的同學(xué)中隨機(jī)選取2人進(jìn)一步了解情況,求恰好高一、高二各1人的概率;
(2)根據(jù)表格統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù),完成下面的的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為持支持與就讀年級(jí)有關(guān).(不支持包括無(wú)所謂和反對(duì))
附:,其中.
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