Question

20．如圖所示的三棱錐P-ABC中，D是棱PB的中點(diǎn)，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，PA⊥平面ABC，則異面直線PC，AD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

Answer 1

分析 以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，過(guò)B平行于AP的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PC，AD所成角的余弦值．

解答 解：∵三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中點(diǎn)，PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，
∴以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，過(guò)B平行于AP的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
P（0，4，2），C（2，0，0），
A（0，4，0），B（0，0，0），D（0，2，1），
$\overrightarrow{PC}$=（2，-4，-2），$\overrightarrow{AD}$=（0，-2，1），
設(shè)異面直線PC，AD所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{|6|}{\sqrt{24}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴異面直線PC，AD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．