Question

如圖所示，在五面體ABCDE中，EA=ED=EC=2，且EA，ED，EC兩兩垂直，AB∥CE，AB=1，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求五面體ABCDE的體積．
（2）求證：BF∥平面ADE．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）五面體ABCDE為四棱錐D-ABCE，其中高為DE=2，底面為直角梯形ABCE，由此能求出五面體ABCDE的體積．
（2）取DE中點(diǎn)G，連結(jié)AG，GF，由已知條件推導(dǎo)出四邊形ABFG為平行四邊形，從而B(niǎo)F∥AG，由此能證明BF∥平面ADE．

解答： （1）解：五面體ABCDE為四棱錐D-ABCE，
其中高為DE=2，
底面為直角梯形ABCE，
共面積為S=

1

2

(1+2)×2=3，
∴五面體ABCDE的體積V=

1

3

sh=

1

3

×3×2=2．
（2）證明：如圖，取DE中點(diǎn)G，連結(jié)AG，GF，
則GF∥EG，且GF=

1

2

EC，
又AB∥EC，且AB=

1

2

EC，
∴四邊形ABFG為平行四邊形，從而B(niǎo)F∥AG，
又AG?平面ADE，BF不包含于平面ADE，
∴BF∥平面ADE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查五面體的體積的求法，考查直線與平面平行的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．