Question

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若

m

=（b，c），

n

=（cosC，sinB），a=

m

•

n

．
（1）求B；
（2）若b=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出a，得到關(guān)系式，利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，變形求出tanB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（2）利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積S，利用余弦定理列出關(guān)系式，并利用基本不等式求出ac的最大值，即可確定出面積的最大值．

解答： 解：（1）∵

m

=（b，c），

n

=（cosC，sinB），
∴a=

m

•

n

=bcosC+csinB，
由正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB，
又∵A=π-（B+C），
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCsinB，
整理得：sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，
即cosBsinC=sinCsinB，
∵sinC≠0，
∴sinB=cosB，即tanB=1，
則B=

π

4

；
（2）∵sinB=

2

2

，
∴S=

1

2

acsinB=

2

4

ac，
由已知及余弦定理得：4=b²=a²+c²-2accos

π

4

=a²+c²-

2

ac，即a²+c²=4+

2

ac，
又∵a²+c²=4+

2

ac≥2ac，
∴ac≤

4

2- 2

，即

2

4

ac≤

2

4

×

4

2- 2

=

2

+1，
則△ABC面積的最大值為

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．