Question

18．對(duì)于數(shù)列{a_n}，定義數(shù)列{a_n+1-a_n}的數(shù)列{a_n}的“差數(shù)列”，若a₁=2，{a_n}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2ⁿ．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S₁+2S₂+…+nS_n．

Answer 1

分析 （1）通過“差數(shù)列”的定義可知a₁=2，利用累加法計(jì)算可知當(dāng)n≥2時(shí)a_n=2ⁿ，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1）及等比數(shù)列的求和公式可知S_n=2ⁿ⁺¹-2，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可知數(shù)列{n•2ⁿ⁺¹}的前n項(xiàng)和，進(jìn)而利用分組求和法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，a₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+2
=2+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$
=2ⁿ；
綜上所述，a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，
∴nS_n=n•2ⁿ⁺¹-2n，
記數(shù)列{n•2ⁿ⁺¹}的前n項(xiàng)和為T_n，則
T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
2T_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
兩式相減得：-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²，
∴T_n=n•2ⁿ⁺²-（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）
=n•2ⁿ⁺²-$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=4+（n-1）•2ⁿ⁺²，
∴S₁+2S₂+…+nS_n
=T_n-2•$\frac{n（n+1）}{2}$
=4-n（n+1）+（n-1）•2ⁿ⁺²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，考查累加法，考查分組求和法，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．