Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+2，n為奇數(shù)}\\{2{a}_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，．且n∈N^*，a₁=1，a₂=2．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=a_na_n+1，n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前2n項和S_2n；
（3）設c_n=a_2n-1a_2n+（-1）ⁿ，證明：$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+$\frac{1}{{c}_{3}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$＜$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}滿足a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+2，n為奇數(shù)}\\{2{a}_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，a₁=1，a₂=2．當n為奇數(shù)時，a_n+2-a_n=2，此時數(shù)列{a_2k-1}（k∈N^*）成等差數(shù)列．當n為偶數(shù)時，a_n+2=2a_n，此時數(shù)列{a_2k}（k∈N^*）成等比數(shù)列，即可得出．
（2）b_n=a_na_n+1，n∈N^*，可得：b_2k-1+b_2k=a_2k-1a_2k+a_2ka_2k+1=4k•2^k．利用“錯位相減法”與分組求和即可得出．
（3）c_n=a_2n-1a_2n+（-1）ⁿ=（2n-1）•2ⁿ+（-1）ⁿ．可得$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{{c}_{2k-1}}$=$\frac{1}{（2n-1）•{2}^{n}-1}$＜$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，（n≥5）.$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{{c}_{2k}}$=$\frac{1}{（2n-1）•{2}^{n}+1}$＜$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$（n≥4），即可證明．

解答 （1）解：數(shù)列{a_n}滿足a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+2，n為奇數(shù)}\\{2{a}_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，a₁=1，a₂=2．
∴當n為奇數(shù)時，a_n+2-a_n=2，此時數(shù)列{a_2k-1}（k∈N^*）成等差數(shù)列，公差為2，首項為1，a_n=a_2k-1=1+2（k-1）=2k-1=n．
當n為偶數(shù)時，a_n+2=2a_n，此時數(shù)列{a_2k}（k∈N^*）成等比數(shù)列，公比為2，首項為2，a_n=a_2k=2^k=${2}^{\frac{n}{2}}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
（2）解：∵b_n=a_na_n+1，n∈N^*，
∴b_2n-1+b_2n=a_2n-1a_2n+a_2na_2n+1=（2n+1+2n-1）2ⁿ=4n•2ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前2n項和S_2n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）=4（2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ），
令A_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴S_2n=4（n-1）•2ⁿ⁺¹+8．
（3）證明：c_n=a_2n-1a_2n+（-1）ⁿ=（2n-1）•2ⁿ+（-1）ⁿ．
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{{c}_{2k-1}}$=$\frac{1}{（2n-1）•{2}^{n}-1}$＜$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，（n≥5）．
$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{{c}_{2k}}$=$\frac{1}{（2n-1）•{2}^{n}+1}$＜$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$（n≥4）．

$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+$\frac{1}{{c}_{3}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$＜1+$\frac{1}{13}$+$\frac{1}{39}$+$（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）$+$（\frac{1}{9}-\frac{1}{11}）$+…＜1+$\frac{1}{13}$+$\frac{1}{39}$+$\frac{1}{7}$＜$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了的等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式的關(guān)系、遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．