Question

已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A=AB，E、F分別是BD₁和AD中點(diǎn)．
（1）求異面直線CD₁、EF所成的角；
（2）證明EF是異面直線AD和BD₁的公垂線．

Answer 1

解：（1）∵在平行四邊形BAD₁C₁中，
E也是AC₁的中點(diǎn)，∴EF∥C₁D，（2分）
∴兩相交直線D₁C與CD₁所成的角即異面直線CD₁與EF所成的角．（4分）
又A₁A=AB，長(zhǎng)方體的側(cè)面ABB₁A₁，
CDD₁C₁都是正方形，∴D₁C⊥CD₁
∴異面直線CD₁、EF所成的角為90°．（7分）

（2）證：設(shè)AB=AA₁=a，∵D₁F=，
∴EF⊥BD₁．（9分）
由平行四邊形BAD₁C₁，知E也是AC₁的中點(diǎn)，
且點(diǎn)E是長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)稱中心，（12分）
∴EA=ED，∴EF⊥AD，又EF⊥BD₁，
∴EF是異面直線BD₁與AD的公垂線．（14分）
分析：（1）根據(jù)題意，易得EF∥C₁D，即直線D₁C與CD₁所成的角即異面直線CD₁與EF所成的角，計(jì)算可得答案；
（2）AB=AA₁=a，D₁F=可得EF⊥BD₁，由平行四邊形BAD₁C₁，知E也是AC₁的中點(diǎn)且點(diǎn)E是長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)稱中心?EA=ED?EF⊥AD，再由公垂線定義得證．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成角的求解過程以及公垂線的證明．