Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。

（2）

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)a的不同范圍，分別求出導(dǎo)函數(shù)何時(shí)大于零，何時(shí)小于零，這樣就可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性。

（2）不等式 可以化成，構(gòu)造函數(shù)，

求導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，結(jié)合條件分別討論，三種情況下，可以求出滿足條件的a的取值范圍。

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

② 當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在上是減函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減。

③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增。

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。

（2）

令，求導(dǎo)得 令

所以是R上的增函數(shù)，而

說明函數(shù)在R上存在唯一零點(diǎn)

此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

易證，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，

（1）若時(shí)，，此時(shí)有無窮多個(gè)整數(shù)解，不符合題意；

（2）若時(shí)，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

所以時(shí)， ，所以無整數(shù)解，不符合題意；

（3）當(dāng)，即此時(shí)， 故0，1是的兩個(gè)整數(shù)解，

又只有兩個(gè)正整數(shù)解，因此 ，解得所以

綜上所述的取值范圍為.