Question

【題目】已知點(diǎn)A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2））是函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ） 圖象上的任意兩點(diǎn)，且角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，若|f（x1）﹣f（x2）|=4時(shí)，|x1﹣x2|的最小值為 ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng) 時(shí)，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，

∴ ，

∵ ，∴ ．

由|f（x1）﹣f（x2）|=4時(shí)，|x1﹣x2|的最小值為 ，得 ，

即 ，∴ω=3

∴

（2）解：由 ，

可得 ，

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 k∈z

（3）解：當(dāng) 時(shí)， ，

于是，2+f（x）＞0，

∴mf（x）+2m≥f（x）等價(jià)于

由 ，得 的最大值為

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．

【解析】（1）利用三角函數(shù)的定義求出φ的值，由|f（x1）﹣f（x2）|=4時(shí)，|x1﹣x2|的最小值為 ，可得函數(shù)的周期，從而可求ω，進(jìn)而可求函數(shù)f（x）的解析式；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）當(dāng) 時(shí)，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，等價(jià)于 ，由此可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】掌握三角函數(shù)的最值是解答本題的根本，需要知道函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．