Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx+b（a＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y=x-1，求實數(shù)a，b的值；
（2）在（1）的b下，當a≥2時，討論函數(shù)f（x）的零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由已知切線的方程可得f（1）=0，f′（1）=1，解方程可得a，b的值；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，討論a=2，a＞2，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，求得單調(diào)區(qū)間，由f（1）=0，運用構(gòu)造函數(shù)法，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$，
可得函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為k=2a-a-2+1=a-1，
由切線方程y=x-1，可得a-1=1，解得a=2；
由f（1）=a-a-2+0+b=0，解得b=2．
（2）f（x）=ax²-（a+2）x+lnx+2（x＞0，a≥2），
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-（a+2）x+1}{x}$=$\frac{（ax-1）（2x-1）}{x}$，
當a=2時，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）遞增，由f（1）=a-a-2+0+2=0，
可得f（x）此時有一個零點；
當a＞2，即0＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2}$時，由f′（x）＞0可得x＞$\frac{1}{2}$或0＜x＜$\frac{1}{a}$；由f′（x）＜0可得$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{2}$．
即有f（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞），減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$），
由f（1）=0，可得f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）有且只有一個零點，且f（$\frac{1}{2}$）＜0．
f（$\frac{1}{a}$）=1-lna-$\frac{1}{a}$，設(shè)g（x）=1-$\frac{1}{x}$-lnx（x＞2），g′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$＜0（x＞2），
可得g（x）在（2，+∞）遞減，可得g（x）＜g（2）=1-$\frac{1}{2}$-ln2=ln$\frac{\sqrt{e}}{2}$＜0，
于是f（$\frac{1}{a}$）＜0，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）無零點，
故a＞2時，f（x）有且只有一個零點．
綜上可得，a≥2時，f（x）有且只有一個零點．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的零點個數(shù)，注意運用轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想方法，以及構(gòu)造函數(shù)法，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．