Question

2．若函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b（其中a，b不同時為0），則稱函數(shù)y=f（x）為“準奇函數(shù)”，稱點（a，b）為函數(shù)f（x）的“中心點”．現(xiàn)有如下命題：
①函數(shù)f（x）=sinx+1是準奇函數(shù)；
②若準奇函數(shù)y=f（x）在R上的“中心點”為（a，f（a）），則函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)；
③已知函數(shù)$f（x）=sin（{2x-\frac{π}{3}}）+2$是準奇函數(shù)，則它的“中心點”為$（{\frac{π}{3}+kπ，2}）$
④已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+6x-2是準奇函數(shù)，則它的“中心點”為（1，2）；
其中正確的命題是①②④（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 ①，f（0+x）+f（0-x）=2，得a=0，b=1，滿足“準奇函數(shù)”的定義；
②，根據(jù)函數(shù)“準奇函數(shù)”的定義，利用函數(shù)奇偶性的定義即可證明函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)；
③f（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$+x）+f（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$-x）=2，得a=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，b=1
④，f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+6（1+x）-2+（1-x）³-3（1-x）²+6（1-x）-2=4，得點（1，2）為函數(shù)f（x）的“中心點”．

解答 解：對于①，∵函數(shù)f（x）=sinx+1，∴f（0+x）+f（0-x）=2，∴a=0，b=1，滿足“準奇函數(shù)”的定義，故①正確；
對于②，若F（x）=f（x+a）-f（a），則F（-x）+F（x）=f（x+a）-f（a）+f（-x+a）-f（a）=f（a-x）+f（a+x）-2f（a），
∵f（x）在R上的“中心點”為（a，f（a）），∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a），即F（-x）+F（x）=f（a-x）+f（a+x）-2f（a）=0，
∴F（-x）=-F（x），∴函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)，∴故②正確；
對于③，f（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$+x）+f（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$-x）=2，得a=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，b=1，故錯
對于④，函數(shù)f（x）=x³-3x²+6x-2，∴f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+6（1+x）-2+（1-x）³-3（1-x）²+6（1-x）-2=4，
∴點（1，2）為函數(shù)f（x）的“中心點”，故④正確．
故答案為：①②④

點評 本題主要考查函數(shù)中心的定義的應用，綜合性較強，運算量量較大，難度較大