已知x1是方程xlgx=2009的根,x2是方程x•10x=2009的根,則x1•x2=( )
A.2006
B.2007
C.2008
D.2009
【答案】
分析:由題意可得,x
1是函數(shù)y=
和y=lgx交點M的橫坐標,x
2 是函數(shù)y=
和y=10
x的圖象的交點N的橫坐標.由于函數(shù)y=10
x和y=lgx互為反函數(shù),故線段MN的中點G在直線y=x上.由于M(x
1,
),N(x
2,
),G(
,
),可得
=
,由此求得 x
1•x
2 的值.
解答:解:已知x
1是方程xlgx=2009的根,x
2是方程x•10
x=2009的根,則x
1是函數(shù)y=
和y=lgx交點M的橫坐標,
x
2 是函數(shù)y=
和y=10
x的圖象的交點N的橫坐標.
由于 函數(shù)y=10
x和y=lgx互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱,故M、N兩個點關(guān)于直線y=x對稱,
即線段MN的中點G在直線y=x上.
由于M(x
1,
),N(x
2,
),G(
,
),
∴
=
,∴x
1•x
2=2009,
故選D.
點評:本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系,互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象間的關(guān)系,屬于中檔題.