Question

設α，β，γ 都是銳角，且sinα+sinβ+sinγ=1，證明
（1）sin²α+sin²β+sin²γ≥；
（2）tan²α+tan²β+tan² γ≥．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據柯西不等式得：（sin²α+sin²β+sin²γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）²，結合題中條件即可證得；
（2）由恒等式tan²x=和重要結論：“若a，b，c＞0，則≥，”即可得出：得tan²α+tan²β+tan² γ=++-3≥-3，再進行放縮即得．
解答：證明：（1）由柯西不等式得：（sin²α+sin²β+sin²γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）²，
因為sinα+sinβ+sinγ=1，所以3（sin²α+sin²β+sin²γ）≥1，得：sin²α+sin²β+sin²γ≥．
（2）由恒等式tan²x=和若a，b，c＞0，則≥，
得tan²α+tan²β+tan² γ=++-3≥-3．
于是=≥=，
由此得tan²α+tan²β+tan² γ≥-3=．
點評：本小題主要考查一般形式的柯西不等式、三角函數的同角三角函數關系式、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．