Question

14．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，
在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH．
（Ⅰ）求證：AP∥平面BDM；
（Ⅱ）若G為DM中點(diǎn)，求證：$\frac{GH}{PA}$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OM，由中位線定理可得PA∥OM，故AP∥平面BDM；
（II）利用線面平行的性質(zhì)可得GH∥PA，根據(jù)中位線定理即可得出結(jié)論．

解答 證明：（I）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∵O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，
∴OM∥PA，
又OM?平面BDM，PA?平面BDM，
∴PA∥平面PBD，
（II）∵PA∥平面BDM，PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BDM=HG，
∴PA∥HG，又PA∥OM，
∴HG∥OM，
∵G是DM的中點(diǎn)，∴HG=$\frac{1}{2}$OM，
又OM=$\frac{1}{2}$PA，
∴HG=$\frac{1}{4}$PA，即$\frac{HG}{AP}=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．