Question

5．設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|=5，若y軸上存在點(diǎn)A（0，2），使得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AF}=0$，則p的值為（　�。�

• A． 2或8
• B． 2
• C． 8
• D． 4或8

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)M（$\frac{{t}^{2}}{2p}$，t），運(yùn)用拋物線的定義和向量的加減坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解方程即可得到所求值．

解答 解：拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），
準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
設(shè)M（$\frac{{t}^{2}}{2p}$，t），由|MF|=5，
拋物線的定義可得，$\frac{{t}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$=5，①
又y軸上存在點(diǎn)A（0，2），使得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AF}=0$，
即有（（$\frac{{t}^{2}}{2p}$，t-2）•（$\frac{p}{2}$，-2）=0，
即有$\frac{{t}^{2}}{2p}$•$\frac{p}{2}$-2（t-2）=0，
解得t=4．
代入①，即為p²-10p+16=0，
解得p=2或8．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及方程思想，正確運(yùn)用定義解題是關(guān)鍵，屬于中檔題．